Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Euler Constant

수학에서 원주율(\(\pi\)) 보다 많이 사용되는 상수가 오일러 상수(\(e\))일 것이다. 그 이유는 여러가지가 있지만, 자연로그의 밑과 지수의 밑으로 사용되기 때문이다. 지수함수의 밑으로 사용될 경우, 미분하면 바로 자신이 되는 특수한 성질이 있다. 이 수가 어떻게 발견되었고, 왜 그런 성질을 가지는지를 알아보고자 한다.

자연 상수의 발견

로그를 발명한 수학자 네이피어(John Napier, 1550~1617)가 발견한 수로 네이피어 상수라고도 한다.

복리 계산

이자 문제를 간단히 생각보자. 1000만원(원금, \(M\))을 연 이율 10%(\(I\))의 복리 적금을 들면 5년(\(N\)) 후에는 돈(\(S\))이 얼마가 될까?

• 1년후에는 \(1000 \times 1.1\) 만원,
• 2년후에는 \(1000 \times 1.1 \times 1.1\) 만원,
• ...
• 5년 후에는 \(1000 \times 1.1^5\) 만원으로 1610만5천백원이 된다.

이것을 수식으로 표현하면 복리의 원리합계금(\(S\))은 아래와 같이 된다.

\begin{align}S=M(1+I)^N\end{align}

복리 계산 기간 이슈

약간 다른 문제로, 연이율이 100%이면 1년 후에는 원리금이 원금의 몇배가 될 것인가?

• 단리이면 이율계산을 1년에 몇번에 나눠서 하든 원리금은 원금의 2배로 일정하지만,
• 복리이면 이율계산을 몇번에 나눠서 하느냐에 따라 총액이 달라진다.

간단하게 6개월마다 한다고 하면, 1년에 100% 이율이니, 6개월은 50% 이율일 것이고, 1년에 2번의 이율 계산을 하니, 위의 수식을 활용하면

\begin{align}S/M = (1 + 1/\red{2})^{\red{2}} = 2.25\end{align}

배가 된다.

그러면 이율계산을 매달, 또는 매일하면 어떻게 될까? 총액이 무한히 늘어날까? 이 질문에서 바로 네이피어 상수가 나왔다. 우선 이 사항을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

\begin{align}\lim_{n \to \infty } {(1+1/n)^n} = ?\end{align}

아래 그래프에 \(n = 1 ~ 365\) 까지를 그려보았다. 처음에는 2에서 급격히 커지다가 2.71x에 점차 수렴한다. \(n\) 을 무한히 키워서 계산해 보면 이 값은 \(e = 2.71828182846\cdots\) 이 된다. 이 수는 무리수로 알려져 있다.

자연 상수의 성질

이 상수가 왜 중요한가? 우선 이 상수의 정의를 다시 나타내 보자.

\begin{align}e= \lim_{n \to \infty } {(1+\frac{1}{n})^n}\end{align}

앞의 설명에서는 \(n\) 이 자연수였으나, 어떤 실수도 가능하며, 역수를 취해서 \(n\) 을 재 정의하면 다음과 같은 정의도 가능하다.

\begin{align}\red{e= \lim_{n \to 0 } {(1+n)^{\frac{1}{n}}}}\end{align}

네이피어는 이 수의 중요성을 몰랐으며, 이 수의 중요성을 간파하여 알파벳 기호 \(e\) 를 붙여준 사람이 바로 오일러다. 그래서 오일러 상수라고 불리운다.

오일러 상수의 중요성은 바로 지수함수의 미적분에서 알 수 있다. 어떤 함수를 미분하면 그 형태가 바뀌고, 도함수라고 불리우는 그것을 아는 것이 미분의 핵심이다. 그런데, 미분해서 자기 자신이 되는 함수는 뭘까? 바로 자연상수를 밑으로하는 지수함수이다. 여기서 그것을 증명해보자.

지수함수 미분해 보기

미분의 정의에서 부터 시작하자.

\begin{align}f'(x)= \lim_{h \to 0 } {\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\end{align}

지수함수를 대입하면,

\begin{align}f'(x)&= \lim_{h \to 0 } {\frac{e^{x+h}-e^x}{h}} \\ &=e^x \lim_{h \to 0 } {\frac{e^{h}-1}{h}}\end{align}

위의 수식 자연상수의 정의를 대입하자. 극한에 극한을 취하는 것을 하나로 쓸 수 있으므로 다음과 같이 정리할 수 있다.

\begin{align}f'(x)&=e^x \lim_{h \to 0 } {\frac{{[(1+h)^{1/h}]}^h-1}{h}} \\ &=e^x \lim_{h \to 0 } {\frac{(1+h)-1}{h}}\\&=e^x\end{align}

이 성질은 자연계의 현상을 미분방정식으로 표현해서 그것을 풀어가는 이공학에서 매우 중요하다.

이 함수에서 x는 실수인데, 이것을 복소수로 확장하면 어떻게 될 것인가? 오일러 공식은 여기에서 나온다.

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